İtme ve Çizgisel Momentum

Kum taneleri demiri kesebilir mi? Su ile birlikte kum taneleri nasıl demiri kesebiliyor? Yüklü bir kamyonet neden yüksüz haline oranla daha zor yavaşlamaktadır? Ya da bir araç yavaşlasa dahi neden anında duramıyor ve bir süre hareketine devam ediyor? Bu soruların tümü, itme ve çizgisel momentum konularıyla sıkı bir bağ içindedir. Bu yazıda, itme ve çizgisel momentum konularını detaylı bir şekilde inceledik.

İtme ve Çizgisel Momentum

Bir cisme etki eden kuvvet (F) ile kuvvetin cisim üzerinde etkime süresinin (Δt) nin çarpımına itme denir.

I→=F→.Δ→t

I sembolü ile gösterilir.
Kuvvet vektörel büyüklük olduğu için itme de vektörel bir büyüklüktür.
Kuvvet ile itme aynı yönlüdür.
İtmenin birimi N.s (Newton.saniye) dir

Bir cismin kütlesi ile hızının çarpımına o cismin momentumu denir.

P→=m.v→

P sembolü ile gösterilir.
Hız vektörel büyüklük olduğu için momentumda vektörel büyüklüktür.
Momentum ve hız aynı yönlüdür.
Birimi
kg.msdir.

İtme ve Momentum Arasındaki İlişki

İtme ve momentum arasında yakın bir ilişki vardır ve bunu dinamiğin temel prensibinden faydalanarak görebiliriz.

FNet=m.a→

İvme, birim zamandaki hız değişimi olduğuna göre;

a yerine
Δv→Δtyazılırsa;
FNet=m.Δv→Δt
FNet.Δt=m.Δv→
FNet.Δt=m.v→son−m.v→ilk
FNet.Δt=P→son−P→ilk
I→=ΔP→

olur.

Bu denklem, bir cisme uygulanan itmenin cismin momentum değişimine eşit olduğunu ifade eder.

Hareketle aynı yönlü olan kuvvetin arttığı ya da kuvvetin uygulama süresinin arttığı durumlarda, hareketlinin hızı artar. Bu hızdaki artış ise hareket miktarını artırır.

Örneğin, bir trenin durması için fren sistemi ile harekete ters yönde kuvvet uygulanır. Hareket halindeki trenin momentumu ne kadar büyükse, F.Δt formülünden dolayı durma mesafesi de o kadar fazla olacaktır. Daha kısa mesafede (daha kısa sürede) durmak için kuvvet arttırılabilir.

İtme ve Momentum ile İlgili Grafikler

1) Kuvvet-Zaman grafiğinin altında kalan alan itmeyi ve momentum değişimini verir.

Uygulanan kuvvetin doğrultusu aynı olmak kaydıyla yönü ve şiddeti değişebilir.

Şekil II de zaman ekseninin üstünde kalan alan pozitif itme değişimini, altında kalan alan negatif itme değişimini verir. Toplam itme alanların cebirsel toplamıdır.

2) Momentum- Zaman grafiğinin eğimi net kuvveti verir.

Aşağıdaki görselde görüldüğü gibi grafiğin eğimi kuvveti verir.

Eğimin işareti ve şiddeti kuvvetin işareti ve şiddeti ile aynıdır.

Çizgisel Momentum Korunumu

Bir cisme veya sisteme dışarıdan bir kuvvet etki etmediği sürece, cismin ya da sistemin toplam momentumunda (vektörel toplamda) bir değişiklik olmaz.

Eğer boşlukta bir cisim üzerinde çevresel direnç olmadığını ve sürtünme olmadığını varsayarsak, cismin hareketi sonsuza kadar devam edecektir.

I→=ΔP→
ş
F→dışΔt=P→son–P→ilk
ş
F→dış=0olduğunda P→son=P→ilk

olur.

Çarpışmalar ve Çizgisel Momentumun Korunumu

Hareket doğrultuları değişmeyecek şekilde gerçekleşen çarpışmalara bir boyutta çarpışma, hareket doğrultuları değişecek şekilde gerçekleşen çarpışmalara ise iki boyutta çarpışma denir. Bilardo topları çarpıştıktan sonra farklı iki doğrultuda hareket ederek iki boyutlu çarpışma yapmıştır.

Tüm çarpışmalar, gerçekleştiği boyuttan bağımsız olarak momentum korunumu ilkesine uyumlu davranır.

Çarpışmalar enerji korunumu açısından esnek çarpışma ve esnek olmayan çarpışma olarak iki kategoriye ayrılır.

Esnek Çarpışmalar

Momentumun çarpışma durumunda korunduğunu söylemiştik; bununla birlikte kinetik enerjinin de korunduğu çarpışmalardır. Bu tür çarpışmalarda cisimler çarpışma sonrası birbirinden ayrı hareket eder. Bu, cisimlerin yapışmaz olduğu anlamına gelir.

Merkezi esnek ve merkezi olmayan esnek çarpışma olarak iki kısımda incelenir.

Merkezi Esnek Çarpışma

Cisimlerin kütle merkezleri çakışacak şekilde gerçekleşen çarpışmaya merkezi esnek çarpışma denir. Bu çarpışmada cisimler çarpıştıktan sonra birbirinden ayrı hareket ederek geliş doğrultularında hareket ederler. Aynı düzlemde olan cisimler için, çarpışmanın gerçekleşmesi için boyutlarının aynı olması gerekir.

P→1+P→2=P′→1+P′→2

cisimlerin hareket yönleri hızın işareti için önemlidir.

Sağa kaydırın »»»

m1.v→1–m2.v→2=–m1.v′→1+m2.v′→2
- Kinetik Enerji korunumu yazılırsa;
- ö
  EK(önce)=EK(sonra)
- E1+E2=E′1+E′2
Sağa kaydırın »»»

12m1.v12+12m2.v22=12m1.v′12+12m2.v′22

➀ ve ➁ denklemlerinden;

v→1+v′→1=v→2+v′→2

hız denklemi bulunur. Elde edilen bu eşitlik ile esnek çarpışma yapan cisimlerin hız değerleri ve yönü hakkında yorum yapılabilir.

NOT:

Esnek çarpışmalarda, cisimlerin çarpışma öncesi momentum büyüklükleri eşit ve zıt yönlü ise, cisimler kendi hızları ile ters yöne dönerler.

2. Merkezi Olmayan Esnek Çarpışma

Çarpışan cisimler, çarpışmadan önce veya sonra farklı doğrultularda hareket ediyorsa, bu tür çarpışmalara merkezi olmayan esnek çarpışma denir. Bu çarpışmada momentum ve kinetik enerji korunur. Cisimler, çarpışma sonrasında belirli açılar yaparak birbirinden uzaklaşırlar.

Bu durumda momentum hem yatay hem düşey doğrultuda korunur.

X ekseni doğrultusunda momentum korunur.
- P1=P′→1x+P′→2x
- Sağa kaydırın »»»
  
  θθ
  
  P1=P′→1.cosθ1+P′→2.cosθ2
y ekseni doğrultusunda momentum korunur.
Çarpışma öncesinde y doğrultusunda momentum sıfırdır.
- 0=P′→2y–P′→1y
Buradan ;
- P′→2y=P′→1y

NOT:

Durmakta olan bir cisme eşit kütleli başka bir cisim merkezi olmayan esnek çarpışma yaptığında, cisimlerin çarpışma sonrası, arasındaki açıların toplamı 90° olur.

Esnek Olmayan Çarpışma

Momentumun korunduğu, kinetik enerjinin korunmadığı çarpışmalara denir. Bu tür çarpışmalarda genellikle cisimler birbirine yapışarak hareket eder. Esnek olmayan çarpışmalarda sadece momentum korunumu formülünden faydalanarak problem çözülür.

Sürtünmelerin ihmal edildiği ortamda bir ve iki boyutta esnek olmayan çarpışmalarda şekil değişikliği olduğu için kinetik enerji kaybı olur.

Sürtünmesiz yatay düzlemde durmakta olan

m2kütleli cisme

m1kütleli cisim çarptıktan sonra birlikte hareket ederler.

Momentum korunumu yazılır ise;

öP→önce=P→sonra
m1.v→1–m2.v→2=(m1+m2).v→ort

olur.

İki boyutta gerçekleşen esnek olmayan çarpışmada ise esnek çarpışmalarda olduğu gibi x ve y doğrultusunda momentum heaplanır ve bu hesaplama momentum korunumu üzerinden işlem yapılır.

Yukarıdaki şekilde cisimler çarpıştıktan sonra birlikte belirtilen yönde hareket etmektedir. Bu durumda momentum korunumu hem x ekseni, hem y ekseni için yazılabilir.

x ekseni için momentum korunumu

Pilk=Pson
P1=Port.x
θ
m1.v1=(m1+m2).vort.cosθşeklinde yazılabilir.

y ekseni için momentum korunumu

Pilk=Pson
P2=Port.y
θ
m2.v2=(m1+m2).vort.sinθşeklinde yazılabilir.

Patlamalar

Yol yapımı çalışmalarında dinamitle patlatılan kayaları düşünelim. Kaya parçaları patlama etkisi ile uzayda birçok yöne saçılır. Fakat biz burada bir ve iki boyutta gerçekleşen olayları inceleyeceğiz.

Bir Boyutta Patlama

Yatay düzlemde durmakta olan bir cismin iç patlama sonucu

m1vem2kütlelerine ayrılması şeklinde gerçekleşen patlama türüdür.

Yukarıda görüldüğü gibi cisim iki parçaya ayrılmıştır ve parçalar farklı yönlerde hareket etmektedir. Oluşan parçaların kütleleri

m1,m2dir. Parçaların hızları zıt yönlüdür ve momentum toplamı sıfır olacak büyüklükte olurlar. Başlangıçta momentum toplamı sıfır olduğu için patlama sonrası momentumların toplamı da sıfır olmalıdır.

Duran cisim:

V0=0
m.V0=0=m1.V1−m2.V2vem1.V1=m2.V2

olur. Burada hızların zıt yönlerde olduğu unutulmamalıdır.

Cisim hareket halinde olsaydı:

V0≠0

m.V0=m1.V1−m2.V2şeklinde eşitlik yazılabilir.

İki Boyutta Patlama

Patlama sonucu parçalarına ayrılan cismin parçalarının aynı düzlemde kalmak şartıyla farklı yönlerde hareket etmesine iki boyutta patlama denir.

Çizgisel Momentum Korunumu ve Hesaplama:

Temel İlke:
- Cismin parçalarının momentumlarının toplamı, ilk momentuma eşit olmalıdır.
Hesaplama İşlemleri:
- Her parçanın x ve y bileşenleri ayrı ayrı hesaplanmalıdır.
- X doğrultusundaki bileşenler toplanmalı veya çıkarılmalıdır.
- Y doğrultusundaki momentumların toplamı sıfıra eşitlenmelidir.
İlk Durum Analizi:
- Cismin momentumu +x doğrultusundadır.
- X doğrultusundaki bileşenlerin toplamı bu momentumla eşleşmelidir.
- Y doğrultusundaki momentumların toplamı sıfıra eşitlenmelidir.
Uygulama:
- Hesaplama yapılırken, her parçanın hareket yönü göz önüne alınmalıdır.
- X ve y bileşenleri ayrı ayrı hesaplanarak toplam momentum bulunmalıdır.
Kontrol:
- Hesaplanan toplam momentumlar, cismin başlangıç momentumuna eşit olmalıdır.
- Yapılan işlemler sonucunda çizgisel momentumun korunduğu kontrol edilmelidir.

İtme ve Çizgisel Momentum

İtme ve Çizgisel Momentum

İtme ve Çizgisel Momentum