8. Sınıf Matematik Üslü Sayılar Konu Anlatımı

Üslü Sayılar

Üslü sayılar, bir sayının kendisiyle kaç kez çarpıldığını ifade eden matematiksel kavramlardır. A bir sayı ve n bir pozitif tam sayı olduğunda, a’nın n. kuvveti ya da a üstü n şeklinde ifade edilir.

an = a.a.a.a.a…a

Sayılar, hayatın her alanında karşımıza çıkar. Sayıları birçok farklı bağlamda kullanırız. Örneğin, miktarı ifade etmek için sayıları kullanırız.

Bazı miktarlar o kadar büyük veya küçüktür ki yazmaları zordur. Çin, dünyanın en kalabalık ülkesidir ve nüfusu yaklaşık 1.321.000.000 (1321 milyon) kişidir. Okyanus sularının ağırlığı yaklaşık 1.390.000.000.000.000.000 (1390 trilyon) ton kadardır. Virüslerin çoğu, kapsit çapı 0,00001 ile 0,0003 mm arasında değişen çok küçük boyutlara sahiptir. Bu tür büyük ve küçük sayıları daha rahat ifade etmek için üslü sayılar kullanılır.

Üslü Sayıların Özellikleri

1. Bir sayının birinci kuvveti kendisine eşittir.

a1 = a

51 = 5

(-3) 1 = -3

21 = 2

2. Sıfırdan farklı bir sayının 0. kuvveti 1’e eşittir.

a0 = 1

180 = 1

(-132) 0 = 1

60 = 1

O0 = tanımsız

3. Üslü bir sayının kuvveti alınırken üsler çapımı tabana üs olarak yazılır.

(an) m = an.m

(32) 3 = 32.3 = 36

(43) 5 = 43.5 = 46

(26)7 = 26.7 = 242

Üslü Sayıların Değeri

an üslü sayısında,

a = taban

n = üs (kuvvet) tür.

24  = 2 . 2 . 2 . 2 = 16

52 = 5 . 5 = 25

Tek ve Çift Kuvvetler

Negatif bir sayının çift sayı kuvveti pozitif, tek sayı kuvveti negatiftir.

A negatif bir sayı ve n bir tam sayı olmak üzere,

a2n  : pozitif

a2n+1  : negatif

(-3) 2  = (-3) . (-3) = 9

(-1) 2  = (-1) . (-1) = 1

(-6) 2  = (-6) . (-6) = 36

(-5)3 = (-5) . (-5) . (-5) = -125

Pozitif bir sayının, tek ve çift kuvvetleri pozitiftir.

a pozitif bir sayı ve n bir tam sayı olmak üzere,

a2n  : pozitif

a2n+1  : pozitif

53 = 5 . 5 . 5 = 125

62 = 6 . 6 = 36

34 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81

73 = 7 . 7 . 7 =343

Bir Sayının Pozitif ve Negatif Üssü

Bir üslü sayıda, paydan paydaya ya da paydadan paya sayıların yeri değiştirildiğinde üssün işareti değişir.

Kesirlerde Negatif Üs

Bir kesrin üssü negatif ise, kesrin payı ile paydası yer değiştirilip üssü pozitif yapılır.

a ve b birer sayı, n pozitif bir tam sayı ise,

olur.

Biliyormusunuz?

Uzun yazmak zorunda kalınan sayılar kısaca üslü sayılarla ifade edilebilirler. Örneğin 9’un 9. Kuvvetinin 9. Kuvveti, yani 9387420489 dur.Eğer bu üslü sayının değeri yazılmak istenirse 369 milyon basamağa ve 800 km uzunluğunda kağıda ihtiyaç vardır.

Örnek 1 : Karenin bir kenar uzunluğu 0,5 m’dir. Bu karenin alanı kaç santimetre karedir?

Çözüm :

A = a2

A = (0,5)2 = (0,5) . (0,5)

A = 0,25 m2

1 m2 = 10.000 cm

0,25 m2 = 2500 cm2

 

Üslü Sayılarda Toplam ve Fark

Üslü sayılarla toplama veya çıkarma işlemi yapabilmek için taban ve üssün aynı olması gerekir.

5.23+6.23=(5+6).23=11.23

Taban ve üssü aynı olmayan üslü sayılarla toplama veya çıkarma işlemi yapabilmek için bu üslü sayıların değeri bulunur.

23 + 52 = 2.2.2 + 5.5

8 + 25 = 33

Üslü Sayılarla Toplama ve Çıkarma

an üslü bir sayı ve x, y birer katsayı ise,

x . an + y . an = (x + y) . an

x . an – y . an = (x – y) . an

8.53+7.53=(8+7).53=15.33

9.24+8.24=(9+8).24=17.24

15.54-3.54=(15-3).54=12.54

12.62-2.62 (12-2).62=10.62

Örnek 2 : 5 + 2 . 5 – 4 . 5 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm : (1 + 2 – 4) . 52 = -1 . 52

= 52

Örnek 3 : 4 . 53 + 125 + 6 . 53 – 23 işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü :

4 . 53 + 53 + 6 . 53 – 23

= (4 + 1 + 6) . 53 – 23

= 11 . 53 -23

 

Üslü Sayılarla Çarpma

1. Tabanları aynı, üsleri farklı üslü sayılarla çarpma

a sıfırdan farklı bir sayı ve m, n birer tam sayı ise,

am . an = am+n olur.

Tabanları aynı, üsleri farklı üslü sayılarla çarpma yaparken:
1. Taban aynen yazılır.
2. Üsler toplanıp üs olarak yazılır.

25 . 56 = 25+6 = 211

Örnek 4 : 53 . 125 . 58 . (52) 3 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm :

53 . 53 . 53 . 52.3

= 53 . 5 3. 58 . 56

= 53+3+8+6 = 520

2. Tabanları farklı, üsleri aynı üslü sayılarla çarpma

Tabanları farklı, üsleri aynı üslü sayılarla çarpma yaparken:
1. Tabanlar çarpılıp taban olarak yazılır.
2 Ortak üs, üs olarak yazılır.

23 . 53 = (2 . 5) 3 = 103

a ve b sıfırdan farklı birer sayı, n bir tam sayı ise,

an . bn = (a.b)n olur.

Örnek 5 : 36 . (32) 3 . 56 işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü :

36 . 32.3 . 56

= 36 . 36 . 56

= (3 . 3 . 5) 6 = 456

3. Tabanları ve üsleri farklı üslü sayılarla çarpma

Tabanları ve üsleri farklı üslü sayılarla çarpma yaparken:
1. Üslü sayıların kuvvetleri alınarak değerleri bulunur.
2. Bulunan değerler çarpılır.

25 . 32 işleminde :

25 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32

32 = 3 . 3 = 9

32 . 9 = 288 ‘dir.

Biliyormusunuz?

Bazı sayılar için özel eşitlikler vardır.

Sayının rakamlarının küpleri toplamı, o sayıya eşittir.

153 = 13 + 53 + 33

371 = 33 + 73 + 13

407 = 43 + 03 + 73

Benzer şekilde sayının rakamlarının 4. Kuvvetleri toplamı, o sayıya eşittir.

8208 = 84 + 24 + 04 + 84

4151 = 44 + 14 + 54 + 14

Üslü Sayılarla Bölme

1. Tabanları aynı, üsleri farklı üslü sayılarla bölme

Tabanları aynı, üsleri farklı üslü sayılarla bölme yaparken:

1. Taban aynen yazılır.
2. Üsler farkı bulunup üs olarak yazılır.

3. Tabanları ve üsleri farklı üslü sayılarla bölme

Tabanları ve üsleri farklı üslü sayılarla bölme yaparken:
1. Üslü sayıların kuvvetleri alınarak değerleri bulunur.
2. Bulunan değerler bölünür.

Örnek 8 : Dikdörtgen şeklindeki bir tarlanın alanı 5 m’dir.
Bu tarlanın kısa kenarı 5 m olduğuna göre uzun kenarı kaç metredir?