Bu ders notumuzda Matematik Kümeler başlığı altında; Kümelerin Eleman Sayısı, Küme Elamanı, Kümelerin Gösterimi, Küme Çeşitleri, Kümelerde İşlemler, Alt Küme, Özalt Küme, Evrensel Küme, Küme Problemleri, Eşit Küme, Denk Küme, Boş Küme vb. konular hakkında detaylı bilgileri bulabilirsiniz.

Kümeler

C. EŞİT KÜME, DENK KÜME

E. ALT KÜME – ÖZALT KÜME

 A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B nin alt kümesi denir.

1. Alt Küme

A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A Ì B biçiminde gösterilir.

A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir. B É A biçiminde gösterilir.

C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C Ë D biçiminde gösterilir.

2. Özalt Küme

 
Bir kümenin, kendisinden farklı bütün alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir.

3. Alt Kümenin Özelikleri

Her küme kendisinin alt kümesidir.

i)     A Ì A

ii) Boş küme her kümenin alt kümesidir.

Æ Ì A

iii) (A Ì B ve B Ì A) Û A = B dir.

ıv) (A Ì B ve B Ì C) ise, A Ì C dir.

v) n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2ⁿ ve özalt kümelerinin sayısı 2ⁿ – 1 dir.

F. KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER

A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A È B biçiminde gösterilir.

1. Kümelerin Birleşimi

A È B = {x : x Î A veya x Î B} dir.

2. Birleşim İşleminin Özelikleri
a) A È Æ = A

b) A È A = A

c) A È B = B È A

d) A È (B È C) = (A È B) È C

e) A Ì B ise, A È B = B

f) A È B = Æ ise, (A = Æ ve B = Æ) dir.

3. Kümelerin Kesişimi

A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A Ç B biçiminde gösterilir.

A Ç B = {x : x Î A ve x Î B} dir.

4. Kesişim İşleminin Özelikleri

 
a) A Ç Æ = Æ

b) A Ç A = A

c) A Ç B = B Ç A

d) (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)

e) A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)

f) A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

G. EVRENSEL KÜME

Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye, evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle E ile gösterilir.

I. KUVVET KÜMESİ

Bir kümenin bütün alt kümelerin kümesine kuvvet kümesi denir. Kuvvet kümesi P(A) ile gösterilir.

s(A) = n ise, s(P(A)) = 2ⁿ dir.

J. İKİ KÜMENİN FARKI

Farkla İlgili Özelikler

A, B, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere,

i) E – A = A’

ii) A – B = A Ç B’

iii) (A – B)’ = A’ È B dir.

iv) (A – B) È (B – A) = A D B (Simetrik Fark)

K. ELEMAN SAYISI

A, B, C herhangi birer küme olmak üzere,

Tenis veya voleybol oynayanların sayısı:

s(T È V) = a + b + c

Tenis ya da voleybol oynayanların sayısı:

s(T – V) + s(V – T) = a + c

Sadece tenis oynayanların sayısı:

s(T – V) = a

Tenis oynamayanların sayısı:

s(T’) = c + d

Bu iki oyundan en az birini oynayanların sayısı:

s(T È V) = a + b + c

Bu iki oyundan en çok birini oynayanların sayısı: