Üçgenlerde Temel Kavramlar
Aynı doğrultuda bulunmayan 3 noktanın birleştirilmesiyle oluşan geometrik şekle üçgen denir. Her üçgenin kenarları arasında üçgen eşitsizliğine uyan bir bağlantı bulunur. Bu bölümde üçgenleri açıları ve kenarları arasındaki ilişki yönünden inceleyeceğiz.
I) Üçgende Açılar
Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir ve toplam 3 açısı bulunmaktadır. Bu açılar arasında aşağıdaki açı özelliklerine göre isimlendirilir.
- Üçgende Açı Özellikleri
- Dar Açı: Büyüklüğü 0 ile 90 derece arasında olan açıdır.
- Dik Açı: Büyüklüğü 90 derece olan açıdır.
- Geniş Açı: Büyüklüğü 90 ile 180 derece arasında olan açıdır.
- Doğru Açı: Büyüklüğü 180 derece olan açıdır.
- Tam Açı: Büyüklüğü 360 derece olan açıdır.
- Tümler Açılar: Toplamları 90 derece olan açılardır. Örneğin 50 derece olan bir açının tümleri (tümler açısı) 40 derecedir.
- Bütünler Açılar: Toplamları 180 derece olan açılardır. Örneğin 110 derece olan bir açının bütünleri (bütünler açısı) 70 derecedir.
- Açıortay: Bir açıyı iki eş açıya ayıran ışına açıortay denir.
2) Üçgenin Açıları
Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180 derecedir. Bu durumu görselde görebiliriz. ABC üçgeninin B noktasından geçen ve CA kenarına paralel bir doğru çizdiğimizde, ‘Z kuralı’ndan dolayı a açısı x açısına, c açısı ise y açısına eşit olacaktır. b, x ve y açıları bir doğru üzerindedir, bu nedenle toplamları 180 derecedir. Dolayısıyla üçgenin iç açıları olan a, b ve c açılarının toplamı da 180 derece olacaktır.
- x+b+y=180
- a+b+c=180
- a+x=180˚
- b+y=180˚
- c+z=180˚
- a+b+c+x+y+z=540˚
- a+b+c=180˚
- x+y+z=360˚
Pratik: Bir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir. Bu bilgi, üçgen sorularını çözerken uygulandığında size pratiklik kazandırır.
Bu durumu kanıtlamak için belirlediğimiz bir iç açıyı hem diğer iki iç açıyla topladığımızda hem de bu iç açının dış açısıyla topladığımızda iki durumda da 180 dereceyi buluruz. Dolayısıyla diğer iki iç açının toplamı ve bunlara komşu olmayan dış açı birbirine eşittir. Yukarıda anlatılanlar aşağıda işleme dökülmüş halde bulunmaktadır.
-
- a+b+c=180°
3) Üçgende Açıortay Özellikleri
Bir üçgende iki iç açıortay arasındaki açının ölçüsü, açıortayı çizilmeyen açının ölçüsünün yarısından 90 derece fazladır. ABC üçgenine baktığımızda A açısının ölçüsünü 180 dereceden çıkarttığımız zaman iki açıortayın toplamını (2x+2y) elde ederiz. Bu sonucu ikiye böldüğümüzde ise açıortayların bir tanesinin toplamını (x+y) buluruz. Şimdi BCD üçgenine baktığımızda artık iki açının toplamını biliyoruz ve bunu 180 dereceden çıkardığımız zaman bize şu sonuca ulaşırız.
α açısının değerini verecektir.
Bir üçgenin iç açıortayları arasındaki açının ölçüsü ile açıortayı çizilmeyen iç açının ölçüsünün yarısı, birbirinin tümleridir. Bu durumu anlamanız için işlemleri kısaca anlatacağım, ancak göstermeyeceğim. BCD üçgenine baktığımızda, 180 dereceden α açısını çıkardığımızda (x+y) değerini α cinsinden buluruz. ABC üçgeninin dış açıları olan 2x ve 2y açılarını 180 dereceden çıkardığımızda iki iç açıyı buluruz. Bu iç açıları 180 dereceden çıkardığımızda m(A) açısına ulaşırız. Bulduğumuz değeri (x+y) ile gösterdiğimiz yerine (180–α) yazdığımızda aşağıdaki sonuca ulaşırız.
α+m(A^)2=90 veya α=90–m(A^)2
4) İkizkenar Üçgen
5) Eşkenar Üçgen
Bir üçgende kenar uzunlukları karşısında bulunan açının ölçüsüyle doğru orantılıdır. Bir açı ne kadar büyükse karşısındaki kenar o kadar büyük, ne kadar küçükse karşısındaki kenar o kadar küçük olur.
Örnek olarak bize
m(C^)>m(A^)>m(B^)bilgisi verilirse bundan yola çıkarak c > a > b yorumunu yapabiliriz.
Ayrıca bir açının büyüklüğüne göre kenarlar arasında bağıntı kurabiliriz.
- α<90°ise b2<a2+c2
- α=90°ise b2=a2+c2
- α>90°ise b2>a2+c2
III) Üçgen Eşitsizliği
Bir üçgende iki kenar uzunluğunun toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyüktür. Aşağıdaki üçgene göre bağıntıları
- a<b+c
- b<a+c
- c<a+b
şeklinde yazabiliriz.
Aynı mantıkla, bir üçgenin bir kenar uzunluğu, diğer iki kenar uzunluğu toplamından küçük olmalıdır; farklarının mutlak değeri ise büyük olmalıdır. Aksi halde, çok uzun olan bir kenarın diğer iki kenarla birleşmesi mümkün olmayacaktır ve böylece bir üçgen oluşturulamaz. Bu bağlamda üçgenlerde geçerli olan bu ilişkiye “üçgen eşitsizliği” denir.
- b–c<a<b+c
- a–c<b<a+c
- a–b<c<a+b