Limit

Soldan Yaklaşma, Sağdan Yaklaşma

x değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya soldan yaklaşma denir ve  x → a^–  biçiminde gösterilir.

x değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir ve x →a⁺  biçiminde gösterilir.

Limit Kavramı

Bir f(x) fonksiyonunda x değişkenine bir a değerine sınırsız yaklaşan değerler verildiğinde fonksiyondaki f(x) değerleri de bir L değerine sınırsız yaklaşıyorsa; bu L değerine f(x) fonksiyonunun a değeri için limiti denir.

Önemli 

şeklinde gösterilir.

lim f(x) ifadesinin alabileceği tek bir x→ a değer vardır.

f(x) fonksiyonu x=a için tanımsız olsa olsa bile lim f(x) bulunabilir.

x→a

Çünkü lim f(x) demek f(a) demek değil x→a  ” x,a’ya yaklaşırken f(x)’in yaklaştığı değer demektir.

Limitin Özellikleri

Parçalı Fonksiyonun Limiti

Belirli reel sayı aralıklarına göre tanımlamaları yapılmış bir parçalı fonksiyonda bu aralıkların sınır değerleri olan gerçek sayılar fonksiyonun kritik noktalarıdır.

Kritik noktalar dışındaki herhangi bir gerçek sayı için fonksiyonun limitini bulmak istersek; “gerçek sayının bulunduğu aralık için tanımlanan fonksiyonun, bu gerçek sayı için limiti bulunur.”

Kritik nokta için sağdan ve soldan limit incelemesi sonucunda; “sağdan limit ile soldan limit farklı değerler çıkıyorsa bu kritik nokta için fonksiyonun limiti yoktur.”

Mutlak Değer Fonksiyonunun Limiti

Bir mutlak değer fonksiyonunda bulunan mutlak değer içindeki ifadeyi sıfırlayan gerçek sayı, bu fonksiyonun kritik noktasıdır.

Kritik noktalar dışındaki herhangi bir gerçek sayı için fonksiyonun limitini bulmak istersek; “Bu gerçek sayıyı fonksiyonda doğrudan yerine yazıp sonucu buluruz.”

Örnek:

Kritik nokta için sağdan ve soldan limit incelemesi sonucunda; “sağdan limit ile soldan limit farklı değerler çıkıyorsa bu kritik nokta için fonksiyonun limiti yoktur.”

0/0 Belirsizliği

Pay veya paydada köklü ifadelerin bulunması durumunda sadeleştirme işleminden önce “pay ve paydayı eşlenikle çarpmak” gerekebilir.