Sayma ve Olasılık
Sıralama ve Seçme
Sayma Yöntemleri
Bire bir eşleme yoluyla sayma, bir kümenin eleman sayısını, o kümenin elemanlarını pozitif tam sayılar kümesinin elemanlarıyla bire bir eşleyerek bulma yöntemidir.
Örnek:
A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesindeki rakamlar kullanılarak üç basamaklı
a. Kaç doğal sayı oluşturulabileceğini
b. Rakamları farklı kaç doğal sayı oluşturulabileceğini
c. Kaç çift doğal sayı oluşturulabileceğini
d. Rakamları farklı kaç çift doğal sayı oluşturulabileceğini bulalım.
Çözüm:
a. Her bir basamak için yazılabilecek rakam ve sayılar gösterilmiştir. Buna göre üç basamaklı doğal sayıların sayısı, 5 . 5 .5 = 125 olur.
b. Rakamların farklı olması gerektiğinden her basamakta kullanılacak rakam sayısı gösterildiği gibi bir eksiltildi. Buna göre rakamları farklı üç basamaklı doğal sayıların sayısı, 5 . 4 .3 = 60 olur.
c. Çift doğal sayı oluşturulması istendiğinden birler basamağına 2 veya 4 rakamı yazılabilir. Onlar ve yüzler basamaklarına rakamların tamamı yazılabilir. Bu durumda üç basamaklı çift doğal sayıların sayısı, 5 . 5 .2 = 50 olur.
Toplama yoluyla sayma, ayrık iki kümenin birleşiminin eleman sayısını toplama işlemi yaparak bulma yöntemidir. A ve B olmak üzere iki kümenin eleman sayıları s(A) ve s(B) ise, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı s(A ∪ B) = s(A) + s(B) şeklinde bulunur.
Örnek:
5 farklı pasta ve 6 farklı sütlü tatlı arasından 1 pasta veya 1 sütlü tatlı kaç farklı şekilde seçilir? Pasta kümesine P dersek, s(P) = 5 ve sütlü tatlı kümesine T dersek, s(T) = 6 olur. Bu durumda s(P ∪ T) = s(P) + s(T) = 5 + 6 = 11 bulunur.
Çarpma yoluyla sayma, ayrık iki kümenin kesişiminin eleman sayısını çarpma işlemi yaparak bulma yöntemidir. Eğer A ve B iki kümenin eleman sayıları s(A) ve s(B) ise, bu iki kümenin kesişiminin eleman sayısı s(A ∩ B) = s(A) . s(B) şeklinde bulunur. Ayrıca, daha fazla kümeyi bir araya getirerek çarpma işlemi ile sayma yöntemi genelleştirilebilir.
Örnek:
A, B ve C boş olmayan ayrık birer küme olsun.
- A ve B kümelerinden birer eleman seçerek oluşturulabilecek tüm sıralı ikililerin sayısı: s(A x B) = s(A) . s(B)
- A, B ve C kümelerinden birer eleman seçilerek oluşturulacak tüm sıralı üçlülerin sayısı: s(A x B x C) = s(A) . s(B) . s(C)
Faktöriyel
Faktöriyel, 1’den n’e kadar olan doğal sayıların çarpımına denir ve n! şeklinde gösterilir. Özel olarak, sıfır faktöriyel 1’e eşittir (0! = 1).
Bazı doğal sayıların faktöriyelleri:
0! = 1
1! = 1
2! = 1 * 2 = 2
3! = 1 * 2 * 3 = 6
4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24
5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120
6! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 = 720
7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 = 5040
Permütasyon
n ve r, doğal sayılar olup r ≤ n koşulunu sağlar. n elemanlı bir kümenin birbirinden farklı r tane elemanından oluşan sıralamalara n’nin r’li permütasyonu (dizilişi) denir.
Örnek:
A = {1, 2, 3} kümesinin ikili permütasyonlarını yazalım.
A kümesinin elemanlarını ikişerli seçerek sıralı ikili şeklinde yazarsak:
(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1) ve (3, 2) şeklinde altı farklı permütasyon elde ederiz.
Bu şekilde, 3 elemanlı bir kümenin ikili permütasyonlarının sayısı 6’dır.
Permütasyon Sayısı
n elemanlı bir kümenin r’li permütasyonlarının sayısı P (n, r) ile gösterilir.
n’nin n’li permütasyonlarının sayısı
Tekrarlı Permütasyon
Bazı elemanları özdeş olan n elemanlı bir kümenin n’li permütasyonlarına tekrarlı permütasyon denir.
Kombinasyon
n ve r birer doğal sayı ve r ≤ n olmak üzere n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin her birine n’nin r’li kombinasyonu denir.
Kombinasyonun Özellikleri
Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı
Hintli matematikçiler bu matematiksel yapıya “Meru Dağı’nın merdivenleri” derler. İran’da bu yapı “Hayyam Üçgeni” olarak bilinir. Çin’de ise “Yang Hui’nin Üçgeni” adını taşır. Batı dünyasında ise bu yapı genellikle “Pascal Üçgeni” olarak tanınır.
Binom Açılımı
Bilinen özdeşlikler vardır bunlar;
(x + y)1 = x + y
(x + y)2 = (x + y).(x + y) = x2 + 2xy + y2
(x + y)3 = (x + y).(x + y).(x + y) = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Kuvvet büyüdükçe özdeşliği çarpma işlemi yaparak bulmak zorlaşır. Bu durumda kombinasyon yardımıyla binom açılımını kullanarak özdeşlikleri bulabiliriz.
x ve y sıfırdan farklı ve n bir doğal sayı olmak (x + y)n ifadesinin x ve y’nin kuvvetleri cinsinden açılımına binom açılımı denir.
Kesinlikle, binom açılımı terimlerini hesaplarken katsayıları kombinasyon yardımıyla belirleriz. Bu süreçte x’in azalan kuvvetlerine göre açılımı yaparız, x’in üssünü n’den başlayarak her terimde bir azaltırız. Aynı şekilde y’nin üssünü 0’dan başlayarak her terimde bir artırırız. Bu şekilde son terimde x’in üssü 0, y’nin üssü ise n olur. Bu yöntem, binom açılımının temel prensibidir ve matematiksel ifadeleri açıklamak ve anlamak için çok kullanışlıdır.
Örnek
(x + y)4 ifadesinin özdeşini Pascal üçgeninden faydalanarak x’in artan kuvvetlerine göre yazalım.
Terimlerin katsayılarının 1 4 6 4 1 olduğunu Pascal üçgeninin 5. satırından görebiliriz. x’in kuvvetlerini 0’dan 4’e doğru, y’nin kuvvetlerini 4’ten 0’a doğru sırayla terimlere yazarız.
(x + y)4 = 1 x0 y4 + 4 x1 y3 + 6 x2 y2 + 4 x3 y1 + 1 x4 y0
Katsayılardaki 1’leri, x0 ve y0 ifadelerini 1’e eşit oldukları için yazmamıza gerek yoktur.
(x + y)4 = y4 + 4 x y3 + 6 x2 y2 + 4 x3 y + x4
Binom Açılımı Özellikleri
Terim sayısı
(x+y)n ifadesinin açılımındaki terim sayısı n+1‘dir.
Örnek: (2x + 3y)10 ifadesinin açılımında 10+1 = 11 terim vardır.
Terimlerdeki üsler toplamı
(x+y)n ifadesinin açılımındaki her bir terimdeki x ve y değişkenlerinin üsleri toplamı n‘dir.
Örnek: (3x − y)8 ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan 7. terimi inceleyelim.
Bu ifadenin açılımdaki 7. terimi 252x2y6 dir. Burdaki x’in ve y’nin üslerini toplarsak 2 + 6 = 8 olduğunu görürüz.
Baştan r+1 inci terim
Katsayılar toplamı
(x+y)n ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 sayısı yazılır.
Sabit terim
(x+y)n ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulmak için değişkenler yerine 0 sayısı yazılır.
Basit Olayların Olasılıkları
Olasılık, hem günlük yaşamda hem de farklı bilim dallarında yaygın bir şekilde kullanılmaktadır. Günümüzde ekonomi, meteoroloji, temel bilimler, milli savunma ve birçok diğer uygulama alanında olasılığın önemli bir rolü vardır.
Deney: Bir olayın sonucunu görmek için gerçekleştirilen işleme deney denir.
Çıktı: Bir deneyin sonucunda elde edilebilecek sonuçlara çıktı denir.
Örnek Uzay: Bir deneyde elde edilebilecek tüm çıktıların kümesine örnek uzay denir ve genellikle E ile gösterilir.
Örnek Nokta: Örnek uzayın herhangi bir elemanına örnek nokta denir.
Örnek:
Bir madeni paranın havaya atılması deneyinde, paranın kesin olarak yazı mı, tura mı geleceğini önceden bilemeyiz.
Bu deneyin çıktıları yazı veya tura olabilir. Yazıyı Y, turayı T harfiyle gösterirsek, tüm çıktıların oluşturduğu küme örnek uzay olur ve E = {Y, T} şeklinde ifade edilir. Yazı gelmesi veya tura gelmesi bir olaydır.
İmkansız Olaylar: Gerçekleşmesi mümkün olmayan olaylardır. Örneğin, bir zarın atılması deneyinde üst yüze gelen sayının 6’dan büyük olması, gerçekleşmesi mümkün olmayan bir olaydır.
Kesin Olaylar: Gerçekleşmesi kesin olan olaylardır. Örneğin, sadece erkeklerin bulunduğu bir sınıftan seçilen öğrencinin erkek olma olasılığı kesin bir olaydır.
Eşit Olasılıklı Olaylar: Bir zarın havaya atılması deneyinde üst yüze bir ila altı arasındaki sayıların gelmesi eşit olasılıklı bir olaydır. Bir madeni para atıldığında yazı ve tura gelme olasılığı birbirine eşittir.
Daha Fazla Olasılıklı Olaylar: 10 kız ve 5 erkek öğrencinin bulunduğu bir sınıftan seçilen bir öğrencinin kız olma olasılığı daha yüksektir.
Daha Az Olasılıklı Olaylar: 40 kırmızı ve 2 mavi topun bulunduğu bir torbadan seçilen topun mavi olma olasılığı daha düşüktür.