1. VEKTÖRLERİN ÖZELLİKLERİ

Bir doğru üzerinde belli bir noktadan başlayıp başka bir noktada biten yönlü doğru parçasına vektör denir. Bu doğru parçalarının vektör olduğunu belirtmek için üzerine

→işareti koyulur. Vektörlerin 4 temel özelliği vardır:

• Başlangıç noktası
• Doğrultusu
• Yönü
• Büyüklüğü

|K→|veya üzerinde→işareti olmadan normal bir yazımla K olarak ifade edilebilir.

Doğrultusu, yönü ve büyüklüğü aynı olan vektörlere eşit vektörler denir ve birbirine eşit A ve B vektörü için

C→=−D→yazılabilir.

Bir vektör, 1’den farklı pozitif bir sayı ile çarpılırsa sadece büyüklüğü bu sayı kadar büyür veya küçülür. Eğer 1’den farklı negatif bir sayı ile çarpılırsa hem büyüklüğü hem de yönü değişecektir. Her iki durumda da doğrultu değişmez.

2. VEKTÖRLERİN DİK KOORDİNAT SİSTEMİNDE İKİ VE ÜÇ BOYUTLU OLARAK ÇİZİLMESİ

Ax, A vektörünün x eksenindeki değerini;
Ay, A vektörünün y eksenindeki değerini gösterir.

Vektörü üç boyutta göstermek için ise x-y-z koordinat sistemi kullanılır. Bir B vektörünü üç boyutta

B→=(Bx,By,Bz)şeklinde gösteririz. Burada

Bx, B vektörünün x eksenindeki değerini;
By, B vektörünün y eksenindeki değerini ve
Bz, B vektörünün z eksenindeki değerini gösterir.

3.BİLEŞKE VEKTÖR

3.a. Bileşke Vektörün Tanımı

İki veya daha fazla vektörel büyüklüğün toplanması ile elde edilen yeni vektöre bileşke vektör denir.

R→ile gösterilir. Bileşke vektör aynı zamanda toplanan vektörlerin yaptığı etkiyi, tek başına yapabilen vektördür.

3.b. Bileşke Vektörün Ve Büyüklüğünün Bulunması

Bileşke vektörünü farklı yöntemlerle bulabiliriz.

3.b.1. Uç uca ekleme yöntemi

Bu yöntem, iki veya daha fazla vektörün tek bir işlemle bulunmasını sağlar. Bu yöntemi kullanırken uygulanacak basamaklar sırasıyla şöyledir:

1. Verilen vektörlerden herhangi biri çizilir.
2. İkinci vektör çizilir.
3. İkinci vektörün başlangıç noktası, ilk çizilen vektörün bitiş noktasına gelecek şekilde ikinci vektör çizilir.
4. Bu işleme tüm vektörler bitene kadar devam edilir.
5. İlk vektörün başlangıç noktasından, son vektörün bitiş noktasına bir vektör çizilir ve bu bileşke vektör olur.

Yön ve doğrultuları verilen

A→,B→,C→vektörlerinin bileşkesi

R→vektörünün uç uca ekleme yöntemiyle bulunması yukarıdaki şekilde gösterilmiştir. Vektörlerin toplanmasında değişme özelliği vardır, bu yüzden toplamı hangi sırayla yaptığımızın önemi yoktur.

R→=A→+B→+C→=C→+B→+A→

3.b.2. Paralelkenar yöntemi

Bu yöntem daha çok iki vektörün bileşkesini bulmakta kullanılır. Daha fazla vektör için de kullanılabilir fakat işlem çokluğundan dolayı tercih edilmez. Bu yöntemi kullanırken uygulanacak basamaklar sırasıyla şöyledir:

1. İki vektör aynı noktadan başlayacak şekilde çizilir.
2. Her bir vektörün bitiş noktasından diğer vektöre paralel çizilir.
3. Vektörlerin başlangıç noktasından, çizilen paralellerin kesişim noktasına doğru çizilen vektör, bileşke vektör olur.

Aralarındaαkadar açı olan

A→veB→vektörlerinin bileşkesiR→

vektörünün paralelkenar yöntemiyle bulunması yukarıdaki şekilde gösterilmiştir. Paralelkenar yönteminde bileşke vektörünün büyüklüğü kosinüs teoremiyle hesaplanır.

|R→|2=|A→|2+|B→|2+2.|A→|.|B→|.cosα

3.b.3. Bileşenlerine ayırma yöntemi

Bu yöntemle çok sayıda vektörün bileşkesi kolaylıkla bulunabilir. Bu yöntemde, vektörlerin dik koordinat sistemindeki gibi (x, y) koordinat noktalarına ihtiyaç vardır. Bu yöntemi kullanırken uygulanacak basamaklar sırasıyla şöyledir:

1. Her bir vektörün başlangıç noktası orijin (0, 0) olarak kabul edilir ve her vektörün (x, y) koordinat noktaları tespit edilir. (Bulunan bu x ve y değerleri aslında vektörün o eksenlerdeki bileşenin büyüklüğüdür.)
2. Bileşke vektörün x ekseni üzerindeki bileşeninin büyüklüğünü bulmak için tüm vektörlerin x bileşenlerinin büyüklükleri toplanır.
3. Bileşke vektörün y ekseni üzerindeki bileşeninin büyüklüğünü bulmak için benzer biçimde, tüm vektörlerin y bileşenlerinin büyüklükleri toplanır.

x ve y bileşenleri verilen

A→,B→,C→vektörlerinin bileşkesi

R→vektörünün bileşenlerinin bulunması yukarıdaki şekilde gösterilmiştir. Bileşkenin büyüklüğünü ise bileşenlerinin karelerini bileşkenin keresine eşitleyerek (Pisagor Teoremi) bulabiliriz.

 

|R→|2=|x→|2+|y→|2

3.c. Vektörlerde Çıkarma İşlemi, Fark Vektör

Vektörlerde çıkarma işleminde “bir vektörün negatifi” tanımından yararlanılır. Bunun anlamı bize verilen

A→ve

B→vektörlerinin

A→−B→farkı istendiğinde bu ifadeyi

(A→)+(−B→)şeklinde yazabilmemizdir. Bundan sonra bileşke vektörü bulma bölümünde gösterdiğimiz yöntemleri uygulayabiliriz.

Fark vektörünü bulmak için pratik bir yol daha vardır. İstenilen iki vektör paralelkenar yöntemindeki gibi başlangıç noktaları birleştirilir; sonra bu vektörlerin bitiş noktaları arasına bir vektör çizilir. Bu vektör, fark vektörüdür ve yönü “+” olan vektöre doğrudur. Yukarıdaki şekilde de gösterildiği gibi.

B→−A→farkı istenirse bitiş noktaları birleştirilir ve yönü “+” işaretli olan

B→vektörüne doğru olur. Eğer

A→−B→farkı istenirse aynı işlemler yapılır ama en son yönü

A→vektörüne doğru olur.

4.VEKTÖRLERİN BİLEŞENLERİ

Vektörlerin koordinat sistemindeki eksenler üzerindeki izdüşümlerine vektörün bileşenleri denir. Bu bölüme kadar vektörlerin bileşenlerini bulmayı öğrendik. Bu bölümde açıdan da bileşen bulmayı öğreneceğiz. Vektörün x ekseniyle yaptığı açının sinüs ve kosinüs değerleri, bu vektörün x ve y bileşenlerini verir.

Şekildeki

R→vektörünün x eksenindeki bileşenini bulmak için kosinüs, y eksenindeki bileşeni için ise sinüsü kullanabiliriz.

şğü

cos⁡α=komşu dik kenar uzunluğuhipotenüs=|R→x||R→|

|R→x|=|R→|.cos⁡αşğü

sin⁡α=karşı dik kenar uzunluğuhipotenüs=|R→y||R→|

|R→y|=|R→|.sin⁡α