Eşitsizlikler Konu Anlatımı
İçerisinde<,>,≤,≥
sembolleri bulunan ifadelere eşitsizlik denir. Eşitsizliklerin söylenişleri şu şekildedir:
< → Küçüktür
> → Büyüktür
≤→ Küçük eşittir (Küçüktür veya eşittir)
≥→ Büyük eşittir (Büyüktür veya eşittir)
ÖRNEK: Aşağıdaki cümlelerin karşılarına uygun eşitsizlikleri yazalım.
5’ten büyük sayılar → x>5
Ali’nin yaşı 20’den küçüktür → a<20
18 ve 18 yaşından büyükler ehliyet alabilirler → e≥18
Bir sayının 2 katının 3 eksiği 10’dan küçüktür → 2s-3<10
Bir sayının 7 fazlasının 3 katı 20’ye eşittir veya 20’den büyüktür → 3.(x+7)≥20
Şehir içi hız limiti 50 km’dir → h≤50
Bir sayının 5 eksiğinin 3 katı aynı sayının 6 katının 2 fazlasından küçüktür → 3.(x-5)<6x+2
Bir tartı en fazla 250 kilogramlık ağırlıkları tarta bilmektedir →a≤250
-2’den büyük 7’den küçük sayılar → -2<x<7
Notu 45’ten düşük olanlar dersi geçemez → n<45
Not ortalaması 70 ve 70’ten büyük 85’ten küçük olanlar teşekkür alır →
70≤n<85
Not ortalaması 85 ve üzeri olanlar taktir belgesini hak eder →n≥85
Bir sayının 3 fazlasının yarısı 25’ten büyüktür →x+32>25
Bir sayının 4 fazlasının 5’te 3’ü 40’tan fazladır →3(y+4)5>40
ÖRNEK: Aşağıdaki eşitsizliklerin karşılarına uygun matematiksel cümleleri yazalım.
a<-5 → -5’ten küçük sayılar
k≥1→ 1’e eşit ve 1’den büyük sayılar
5x+3>10 → 5 katının 3 fazlası 10’dan büyük olan sayılar
2(x−10)≤80→ 10 eksiğinin 2 katı 80’e eşit ve 80’den küçük olan sayılar
a2>15→ Yarısı 15’ten büyük olan sayılar
Eşitsizliklerin Sayı Doğrusunda Gösterimi
Eşitsizlikler sayı doğrusu üzerinde gösterilirken eşitsizlik sembolüne dikkat etmemiz gerekmektedir. < ve > sembollerinde sayılar çözüm kümesine dahil değilken, ≤ve≥
sembollerinde sayılar çözüm kümesine dahildir. Yani;
x<3 eşitsizliğine göre bu eşitsizliği sağlayan sayılar 3’ten küçük olan bütün reel sayılardır, 3 ise bu eşitsizliği sağlamamaktadır.
x≤3 eşitsizliğine göre ise bu eşitsizliği sağlayan sayılar 3 ve 3 ten küçük olan bütün reel sayılardır.
ÖRNEK: Aşağıda bazı eşitsizlikler ve bu eşitsizliklerin sayı doğrusu üzerinde gösterimleri verilmiştir. Dikkatle inceleyiniz.
Yukarıdaki görselde, eşitsizlikler ve bu eşitsizliklerin sayı doğrusu üzerindeki gösterimleri bulunmaktadır. Sayı doğrusu üzerindeki gösterimler, eşitsizliklerin çözüm kümesini belirtir. Kırmızı renk ile vurgulanan bölgeler, bu eşitsizlikleri sağlayan tüm gerçek sayıları içerir.
Eşitsizlikler sayı doğrusu üzerinde temsil edilirken, “<” ve “>” sembollerinin yanında bir daire çizilir ve bu dairelerin içi ya boş bırakılır veya doldurulur. Eşittir işareti (≤ veya ≥) kullanıldığında, dairenin içi doldurulur, diğer durumlarda ise içi boş bırakılır. Dolu daire, o sayının bu eşitsizliğin bir parçası olduğunu gösterirken, boş daire o sayının çözüm kümesinde yer almadığını ifade eder.
Eşitsizliklerin Çözümü
Sayın öğrenciler, eşitsizlikleri çözme süreci denklem çözme mantığına benzerlik gösterir. Amaç, bilinmeyeni eşitsizliğin bir tarafında tek başına bırakmaktır. Bu hedefe ulaşmak için bilinmeyenin yanındaki sayıları sırasıyla ortadan kaldırırız. Bu işlem sırası, normal işlem sırasının tersine uygulanır. Eşitsizlikleri çözerken aşağıdaki kurallara dikkat etmek önemlidir:
- Eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenirse veya her iki taraftan aynı sayı çıkarılırsa, eşitsizlik yönü değişmez.
- Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı pozitif sayı ile çarpılırsa veya aynı pozitif sayıya bölünürse, eşitsizlik yönü değişmez.
- Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı negatif sayı ile çarpılırsa veya aynı negatif sayıya bölünürse, eşitsizlik yönü değişir.
NOT: Eşitsizlik sadece negatif sayılar ile çarpma veya bölme yaptığımızda yön değiştirir, onun haricinde yön değiştirmez.
ÖRNEK:
2x+7≤23
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
ÇÖZÜM:
2x+7≤23
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulurken sırası ile aşağıdaki adımlar izlenir:
1) ilk olarak 7 sayısından kurtulmamız gerekir, bunun için eşitsizliğin her iki tarafından 7 çıkartırız.
2x+7−7≤23−7
2x≤16
elde ederiz.
2) Eşitsizliğin her iki tarafı 2’ye böleriz.
2×2≤162x≤8
elde ederiz ve bu eşitsizliğimizin çözüm kümesi olur.
ÖRNEK:
5<−3y+8≤14
eşitsizliğini çözelim.
ÇÖZÜM:
5<−3y+8≤14
eşitsizliğini çözerken sırası ile aşağıdaki adımları izlememiz gerekir.
1) Önce eşitsizliğin her tarafından 8 çıkarırız.
5−8<−3y+8−8≤14−8−3<−3y≤6
bulunur.
2) Eşitsizliğin her tarafını -3’e bölmeliyiz. Yalnız negatif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizliklerin yönünü değiştirmeyi unutmamalıyız.
−3−3>−3y−3≥6−3
Bu işlemin sonucunda
1>y≥−2
bulunur. Bu eşitsizliği sayılar küçükten büyüğe doğru olacak şekilde düzenlersek;