İkinci Dereceden Denklemler
TANIM
a, b, c gerçel sayılar ve a ≠ 0 koşulu altında,
ax² + bx + c = 0
biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
Bu açık önermeyi doğrulayan x sayılarına denklemin kökleri; tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi; çözüm kümesini bulmak için yapılan işlemlere denklemin çözme; a, b, c sayılarına da denklemin kat sayıları denir.
ax² + bx + c = 0
Burada a, b ve c gerçel sayılar olup, a ≠ 0 koşulunu sağlar.
Soru: İkinci dereceden bir denklemin köklerini nasıl bulabiliriz?
Cevap: İkinci dereceden denklemin köklerini bulmak için genellikle kuadratik formül kullanılır. Kuadratik formül şu şekildedir:
x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
Burada a, b ve c denklemin kat sayılarıdır. Diskriminant olan Δ = b² – 4ac değeri, denklemin köklerinin türünü belirler. Eğer Δ > 0 ise iki farklı gerçel kök vardır, Δ = 0 ise iki eşit gerçel kök vardır ve Δ < 0 ise karmaşık köklere sahip olur.
İKİNCİ DERECE DENKLEMİN ÇÖZÜM KÜMESİNİN BULUNUŞU
1. Çarpanlara Ayırma Yöntemi:
Eğer ax² + bx + c = 0 denklemi f(x) . g(x) = 0 biçiminde yazılabilirse,
f(x) = 0 veya g(x) = 0 olduğunda çözüm kümesi;
Ç = {x | x, f(x) = 0 veya Q(x) = 0 denklemini sağlar} olur.
2. Diskriminant (D) Yöntemi:
 |
Eğer ax² + bx + c = 0 denklemi için a ≠ 0 ve D = b² – 4ac ise,
a) D > 0 ise, denklemin farklı iki gerçek kökü vardır.
| Bu kökleri, |  |
b) D < 0 ise, denklemin gerçel kökü yoktur.
c) D = 0 ise, denklemin eşit iki gerçek kökü vardır.
| Bu kökler, |  |
Denklemin bu köklerine: eşit iki kök, çakışık kök ya da çift katlı kök denir.
Üzerinde ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri simetrik ise,
- b = 0 ve a ≠ 0 olur.
- Simetrik kökleri gerçek ise,
b = 0, a ≠ 0 ve a . c ≤ 0 olur.
C. İKİNCİ DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR
ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri
x1 ve x2 ise,
 |
 |
D. KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN YAZILMASI
Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem;
(x – x1) (x – x2) = 0 şeklindedir. Bu ifade düzenlenirse,
x² – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 olur.
Üzerinde ax² + bx + c = 0 … (1) denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun. Kökleri mx1 + n ve mx2 + n olan ikinci dereceden denklem, (1) denkleminde x yerine
yazılarak bulunur.
Üzerinde ax² + bx + c = 0 ve dx² + ex + f = 0 denklemlerinin çözüm kümeleri aynı ise,
ax² + bx + c = 0 ve dx² + ex + f = 0
denklemlerinin sadece birer kökleri eşit ise,
ax² + bx + c = dx² + ex + f
(a – d)x² + (b – e)x + c – f = 0 olur.
Bu denklemin kökü, verilen iki denklemi de sağlar.
ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMLER
A. TANIM
a ≠ 0 olmak üzere, ax³ + bx² + cx + d = 0 biçimindeki denklemlere üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.
B. ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR
a ≠ 0 ve ax³ + bx² + cx + d = 0 denkleminin kökleri x1, x2 ve x3 olsun. Buna göre,
Soru: Üçüncü dereceden bir denklemin kökleri x1 = 2, x2 = -1 ve x3 = 5 ise, denklemin hangi biçimiyle ifade edilebilir?
Cevap: Verilen kökler x1 = 2, x2 = -1 ve x3 = 5 olduğuna göre, üçüncü dereceden denklemin ifadesi:
a(x – 2)(x + 1)(x – 5) = 0
Şeklinde olur, burada a ≠ 0 koşulunu da unutmamalıyız.
 |
 |
C. KÖKLERİ VERİLEN ÜÇÜNCÜ
DERECE DENKLEMİN YAZILMASI
Kökleri x1, x2 ve x3 olan üçüncü derece denklem
(x – x1) (x – x2) (x – x3) = 0 şeklindedir.
Bu denklem düzenlenirse,
x³ – (x1 + x2 + x3)x² + (x1x2 + x1x3 + x2x3)x – x1x2x3 = 0
olur.
Üzerinde ax³ + bx² + cx + d = 0 denkleminin kökleri
x1, x2, x3 olsun.
- Bu kökler aritmetik dizi oluşturuyorsa,
x1 + x3 = 2×2 olur.
- Bu kökler geometrik dizi oluşturuyorsa,
x1 * x3 = x2² olur.
- Bu kökler hem aritmetik hem de geometrik dizi oluşturuyorsa,
x1 = x2 = x3 olur.
anxn + an – 1xn – 1 + … + a1x + a0 = 0 denkleminin;
Kökleri toplamı :
Kökleri çarpımı :
Şeklindedir.