FONKSİYON:
A ve B olmak üzere, A’dan B’ye bir bağıntı b verilmiştir. Burada A’nın elemanları B’nin elemanlarıyla en az bir kez ve en fazla bir kez eşleşiyorsa, bu bağıntıya bir fonksiyon denir.
“𝑥 ∈ A” ve “𝑦 ∈ B” olarak belirtilen durumda, A’dan B’ye bir f fonksiyonu şu şekilde ifade edilir: “𝑓 : 𝐴 → 𝐵” ya da “𝑥 → 𝑓(𝑥) = 𝑦”. Burada A, fonksiyonun tanım kümesini temsil ederken, B ise değer kümesini temsil eder.
Yukarıda verilen A’dan B’ye tanımlanan f fonksiyonu şu şekilde gösterilebilir:
𝑓 = {(𝑎, 1), (𝑏, 2), (𝑐, 3), (𝑑, 2)}
Bu temsil yöntemi, fonksiyonun hangi elemanların eşlendiğini ve hangi değerlere karşılık geldiğini belirtir.
| Ü | Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir. |
| Ü | Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir. |
| Ü | s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere, i) A dan B ye nmtane fonksiyon tanımlanabilir. ii) B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.
iii) A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m × n – nm dir. |
| Ü | Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur. |
B. FONKSİYONLARDA İŞLEMLER
A Ç B ¹ Æ olmak üzere,
fonksiyonları tanımlansın.
- (f + g) : A Ç B ® R, (f + g)(x) = f(x) + g(x)
- (f – g) : A Ç B ® R, (f – g)(x) = f(x) – g(x)
- (f × g) : A Ç B ® R, (f × g)(x) = f(x) × g(x)
- “x Î A Ç B için, g(x) ¹ 0 olmak üzere,
- c Î R olmak üzere,× f) : A ® R, (c × f)(x) = c × f(x) tir.
C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
Bir fonksiyonda farklı girdi elemanlarının karşılık geldiği çıktı elemanları da farklıysa, bu tür bir fonksiyon bire bir olarak adlandırılır.
-
Bire Bir Fonksiyon
Bire bir fonksiyonda şu durum geçerlidir:
Eğer “x1” ve “x2” A kümesine ait elemanlar olmak üzere, “x1 ≠ x2” ise, “f(x1) ≠ f(x2)” olur.
Yani diğer bir ifadeyle,
Eğer “x1” ve “x2” A kümesine ait elemanlar farklıysa ve f(x1) = f(x2) ise, bu durumda x1 = x2 olmalıdır. Bu durumda “f” fonksiyonu bire bir olarak adlandırılır.
| Ü | s(A) = m ve s(B) = n (n ³m) olmak üzere,A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı, |
2. Örten Fonksiyon
Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.
| Ü | f : A ® Bf(A) = B ise, f örtendir. |
| Ü | s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı,m! = m × (m – 1) × (m – 2) × … × 3 × 2 × 1 dir. |
3. İçine Fonksiyon
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
| Ü | İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır. |
| Ü | s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı mm – m! dir. |
4. Birim (Etkisiz)
ise, f birim (etkisiz) fonksiyondur.
| Ü | Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir. |
5. Sabit Fonksiyon
Tanım kümesindeki bütün elemanları değer küme-sindeki bir elemana eşleyen fonksiyona
sabit fonksiyon denir.
| Ü | “x Î A ve c Î B için, f : A ®B f(x) = c
ise, f sabit fonksiyondur. |
| Ü | s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir. |
6. Çift ve Tek Fonksiyon
f : R → R
f(–x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.
f(–x) = –f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.
| Ü | Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir. |
| Ü | Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir. |
D. EŞİT FONKSİYON
Verilen iki fonksiyon “f : A → B” ve “g : A → B” ise, her A kümesi elemanı için f(x) = g(x) olduğunda, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.
E. PERMÜTASYON FONKSİYON
Bir f fonksiyonu “f : A → A” şeklinde ifade edilirse ve bu fonksiyon hem bire bir hem de örten bir yapıya sahipse, bu tür fonksiyona permütasyon fonksiyon denir.
A = {a, b, c} şeklinde bir küme olduğunda, f : A → A
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
Şeklinde verilen fonksiyon, bir permütasyon fonksiyonudur.
biçiminde gösterilir.
F. TERS FONKSİYON
f : A ® B, f = {(x, y)|x Î A, y Î B} bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere,
f–1 : B ® A, f–1 = {(y, x)|(x, y) Î f} fonksiyonuna f nin ters fonksiyonu denir.
 |
(x, y) Î f ise, (y, x) Î f–1 olduğu için,y = f(x) ise, x = f–1(y) dir.Ayrıca, (f–1)–1 = f dir. |
| (f–1)–1 = f dir. Ancak, (f–1(x))–1 ¹ f(x) tir. |
| f fonksiyonu bire bir ve örten değilse, f–1 fonksiyon değildir. |
| f : A ® B ise, f–1 : B ® A olduğu için, f nin tanım kümesi, f–1 in değer kümesidir. f nin değer kümesi de, f–1 in tanım kümesidir. |
| f(a) = b ise, f–1(b) = a dır.f–1(b) = a ise, f(a) = b dir. |
 |
| Ü | y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile y = f–1(x) in grafiği y = x doğrusuna göre birbirinin simetriğidir.  |
| Ü |  olmak üzere, |
| Ü | olmak üzere, |
G. BİLEŞKE FONKSİYON
f ve g yi kullanarak A kümesinin elemanlarını C kümesinin elemanlarına eşleyen fonksiyona g ile f nin bileşke fonksiyonu denir.
Buna göre,
f : A ® B ve g : B ® C olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.
| Ü | (gof)(x) = g[f(x)] tir. |
| Bileşke işleminin değişme özeliği yoktur.Bu durumda, fog ¹gof dir.Bazı fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Ancak bu “fonksiyonlarda değişme özeliği yoktur.” gerçeğini değiştirmez. |
| Ü | Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özeliği vardır.Bu durumda (fog)oh = fo(goh) = fogoh olur. |
| Ü | I birim fonksiyon olmak üzere,foI = Iof = f vef–1of = fof–1 = I dır. |
| Ü | f, g ve h fonksiyonları bire bir ve örten olmak üzere,(fog)–1 = g–1of–1ve(fogoh)–1 = h–1og–1of–1 dir. |
| Ü | (fog)(x) = h(x)ise, f(x) = (hog–1)(x) dir.ise, g(x) = (f–1oh)(x) tir. |
 • f–1(x) = f(x) tir.• (fof) (x) = x
• (fofof) (x) = f(x) • (fofofof) (x) = x |
H. FONKSİYONUN GRAFİĞİ
Bir fonksiyonun elemanlarına analitik düzlemde karşılık gelen noktaların kümesine bu fonksiyonun grafiği denir.
f : A ® B, f = {(x, y)|x Î A, y Î B, y = f(x)}
 |
(a, b) Îfolduğundanf(a) = b dir.
Ayrıca, f–1(b) = a dır. |
| Ü |  Yukarıdaki y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre,f(–3) = 3, f(–2) = 1, f(–1) = 2, f(0) = 2, f(1) = 1,f(2) = 0, f(3) = 2, f(4) = 1, f(5) = 0 dır. |