Dörtgenler ve Özellikleri
Geometri problemlerinde sıkça karşılaştığımız dörtgenler, temel çokgenler arasında yer almaktadır. Bu bölümde, dörtgenlerin genel özelliklerini anlayarak, bir sonraki konuda ise daha detaylı olarak özel dörtgenlere odaklanacağız.
Dörtgenlerde Açı ve Uzunluk Bağıntıları
Özellik 1: Dörtgenlerde İç Açı
n kenarlı bir çokgenin iç açılarının toplamını, önceki konuda belirtildiği gibi (n-2) x 180° formülüyle hesaplayabileceğimizi biliyoruz. Dörtgenler özelinde bu formülü uygularsak, n = 4 olacağından iç açılar toplamı 2 x180° yani 360° olur.
α1+α2+α3+α4=360°
Özellik 2: Dörtgenlerde Dış Açı
Herhangi bir çokgende olduğu gibi, dörtgenlerin dış açı ölçüleri toplamı da 360°’dir. Bu konuyu daha önce çokgenler bağlamında açıklamıştık.
α+β+θ+γ=360°
Özellik 3: Dörtgenlerde Komşu Açıortay Kuralı
Dörtgenlerde, yan yana bulunan iki açının açıortayını oluşturan çizgi, bu iki açının ölçülerinin toplamının yarısı kadar bir açı oluşturur. Bu kural, dörtgenlerin iç açılarının ilişkilerini ifade eder.
α=m(D^)+m(C^)2
İspat
Açıortaylardan birinin yarısına a°, diğerinin yarısına b° değerini verirsek;
AKB üçgeninin iç açıları toplamından,
a+b+α=180°(1)
ABCD dörtgeninin iç açıları toplamından,
2.a+2.b+m(D^)+m(C^)=360°(2)
denklemlerini elde ederiz.
1. denklemi ikiyle çarptığımızda
2.a+2.b+2.α=360°(3) buluruz.
2. ve 3. denklemleri karşılaştırdığımızda ise 2.
αnın aslında C ve D köşelerindeki açıların toplamına eşit olduğunu görürüz.
2.α=m(D^)+m(C^)
α=m(D^)+m(C^)2
Özellik 4: Dörtgenlerde Karşılıklı İki Açıortay
Dörtgenlerle ilgili bir başka özellik ise, dörtgenin içinde yer alan karşılıklı iki açının açıortayları arasındaki dar açının ölçüsünün, diğer iki açının ölçü farkının mutlak değerinin yarısı kadar olduğudur. Bu kural da dörtgenlerin iç açılarının ilişkilerini belirtir.
α=|m(D^)–m(B^)|2
İspat
Açıortaylardan birinin yarısına a°, diğerinin yarısına c° değerini verirsek;
AKCD dörtgeninin iç açıları toplamından,
a+c+m(D^)+(180–α)=360°(1)
ABCD dörtgenin iç açıları toplamından,
2.a+2.c+m(D^)+m(B^)=360°(2)
denklemlerini elde ederiz.
1. denklemi ikiyle çarpıp gerekli sadeleştirmeleri yaptığımızda
2.a+2.c+2.m(D^)–2.α=360°(3) denklemini buluruz.
2. ve 3. denklemleri karşılaştırdığımızda ise (
2.m(D^)–2.α)’yı (m(D^)+m(B^))’ye eşit buluruz.
2.m(D^)–2.α=m(D^)+m(B^)
2.α=m(D^)–m(B^)
α=|m(D^)–m(B^)|2
Özellik 5
Dörtgenlerin köşegenleri dik bir şekilde kesiştiğinde, karşılıklı kenarların uzunluklarının karelerinin toplamı eşit olur. Bu özellik, dörtgenlerin geometrik ilişkilerini açıklar.
a2+c2=b2+d2Bu özelliğin temeli üçgenlerde pisagor teoremine dayanır.
- a2=x2+y2
- c2=t2+z2
- b2=y2+z2
- d2=x2+t2
Buradan şu sonucuna varabiliriz;
a2+c2=b2+d2=x2+y2+t2+z2
Özellik 6
Bir dörtgenin kenarlarının orta noktalarını birleştirerek çizgi segmentleri oluşturduğumuzda, ortaya bir iç içe paralelkenar dörtgen çıkar. Bu durumda aşağıdaki eşitlikler geçerlidir.
- [KL] // [AC] // [NM]
- |KL| = |NM| =
|AC|2 - [ML] // [DB] // [NK]
- |ML| = |NK| =
|DB|2
Bu özelliğin temeli üçgenlerde benzerliğe dayanır. Eğer anlamadıysanız üçgenlerde eşlik ve benzerlik konusuna göz atabilirsiniz.
Dörtgende Alan Bağıntısı
Özellik 1
Bir dörtgenin alanı, dörtgenin köşegenlerinin uzunluklarının çarpımının köşegenler arasındaki açının sinüsine bölünmesiyle elde edilir. Bu hesaplamayla dörtgenin alanı yarıya indirgenir.
A(ABCD) =12.|AC|.|BD|.sinα
İspat
Üçgenlerdeki alan hesaplamaları yöntemlerinden biri sinüs teoremidir. Dörtgenin köşegenlerini çizdiğimizde, aslında 4 adet üçgen elde etmiş oluruz. Bu 4 üçgenin alanlarını topladığımızda ise ABCD dörtgeninin toplam alanını elde etmiş oluruz.
sinα= sin(180-
α) olduğu için aşağıda sin(180-
α) yazmamız gereken yerlere de direkt sin
αyazacağız.
- S1= 12.x.z.sin α
- S2= 12.y.z.sin α
- S3= 12.y.t.sin α
- S4= 12.x.t.sin α
S1+S2+S3+S4=12.(x.z+y.z+y.t+x.t).sinα
Özellik 2
Bir dörtgende, kenarların orta noktalarını birleştirdiğimizde oluşan üçgenlerin, karşılıklı duran üçgenlerinin alanlarının toplamı birbirine eşittir. Bu durumun yanı sıra, bu üçgenlerin oluşturduğu ortadaki KLMN dörtgeninin alanı, tüm dörtgenin alanının yarısı kadardır. Bunu akılda kalıcı şekilde ifade edersek, köşelerdeki tüm üçgenlerin alanlarının toplamı, ortadaki KLMN dörtgeninin alanına eşittir.
S1+S3+S2+S4=A(KLMN)
Özellik 3
Bir dörtgenin köşegenleri çizildiği zaman oluşan 4 tane üçgenden karşılıklı üçgenlerin alanları çarpımı birbirine eşittir.
S1.S3= S2.S4
Alan hesaplamalarında sıklıkla rastlanan bir senaryo, köşegenlerin verilen parçalarının uzunlukları ve belirli üçgenlerin alanlarının bilindiği bir şeklin karşımıza çıkmasıdır. Bu tür durumlarda, yan yana duran üçgenlerin yükseklikleri aynı olacağından, tabanları arasındaki uzunluk oranlarından yola çıkarak alanlar arasında geçiş yapabilirsiniz. Bu özellikle diğer üçgenlerin alanlarını bulup, nihayetinde tüm dörtgenin alanını hesaplayabilirsiniz.
Çokgenler
Doğrusal olmayan üç veya daha fazla noktanın, birbirleriyle doğrusal olmayan çizgilerle birleşerek (birbirlerinin üzerinden geçmeyecek şekilde) oluşturduğu kapalı şekillere çokgen denir. Çokgenlerin köşe ve kenar sayıları eşittir. Çokgenler, kenar sayılarına göre isimlendirilir. Örneğin, dört kenarlı bir çokgene “dörtgen,” yedi kenarlı bir çokgene ise “yedigen” adı verilebilir.
Çokgen ve Temel Unsurları
Bir çokgenin herhangi bir köşesine baktığımızda, bu köşenin iki kenarı arasında kalan açıya “iç açı” denir. Aynı şekilde, bu iç açılara komşu olan ve çokgenin dışına doğru bakan açılara ise “dış açı” adı verilir (Şekil A).
Bir çokgende birbirine bitişik olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasına “köşegen” denir.
Bir çokgenin herhangi bir açısının ölçüsü 180°’den küçükse, bu çokgen “dış bükey” veya “konveks” olarak adlandırılır (Şekil B). Açılardan en az birinin ölçüsü 180°’den büyükse, çokgen “iç bükey” veya “konkav” olarak adlandırılır (Şekil C).
Bir çokgende komşu olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasına köşegen denir.
n kenarlı bir çokgende köşegen sayısı:
n.(n−3)2İspat
Bir köşegen 2 köşenin birleştirilmesinden oluştuğu için, köşegeni çizmek için iki tane köşe seçmek gerekir. n kenarlı bir çokgen için n tane köşesi olduğu için n köşeden 2 tane seçme işlemini n’nin 2’li kombinasyonunu (
C(n,2)) alarak bulabiliriz ancak bunlardan n tanesi çokgenimizin kenarları olduğu için bunu çıkartmalıyız.
C(n,2)–n=n!(n−2)!.2!–n
n!(n−2)!.2!–n=n.(n−1).(n−2)!(n−2)!.2!–n
n.(n−1)2!–n=n2−n−2n2=n2−3n2=n.(n−3)2
olarak bulunur.
Çokgende Açı Bağıntıları
Çokgenlerde Açı İlişkileri
Bir çokgenin iç açılarının toplamı, (n-2) x 180° olarak hesaplanır, burada n çokgenin kenar sayısını ifade eder.
Örnek olarak, bir altıgen için iç açıların toplamını (6-2) x180° olarak hesaplarız ve sonuç olarak 720° elde ederiz.
İç Açı Formülünün Temeli
Üçgenlerin iç açılarının toplamının 180° olduğu bilinir. Diğer çokgenlerde ise gizli üçgenlerin varlığından bahsedebiliriz. Bu üçgenleri açığa çıkardığımızda, aslında iç açıların toplamının her 180°’de bir bulunacağını görürüz. n kenarlı bir çokgeni ele alalım; bir köşeden diğer tüm köşelere çizilen köşegenler, çokgeni (n-2) üçgene ayırır. Bu nedenle (n-2)’yi 180° ile çarptığımızda, çokgenin iç açılarının toplamını bulmuş oluruz.
Örneğin, aşağıdaki altıgenin bir köşesinden diğer köşelere köşegenler çizildiğinde 4 üçgen oluşur. Her bir üçgenin iç açılarının toplamı 180° olduğundan, 4 x 180° ile 720° sonucuna ulaşabiliriz.
Dış Açılar
Bir çokgenin kenar sayısı ne olursa olsun, dış açıların ölçüleri toplamı her zaman 360°’dir.
Dış Açı Formülünün Temeli
Bir çokgenin kenar sayısına göre iç ve dış açı ölçülerinin toplamlarını hesaplayabiliriz:
- İç ve dış açıların toplamı: nx180°
- İç açıların toplamı: (n-2)x180°
Bu bilgiyle, iç ve dış açılarının toplamını çıkartırsak:
nx180° – (n-2)x180° = [n – (n-2)]x180° = 2×180° = 360°
n’ler birbirini götürdüğünden, kenar sayısına bakılmaksızın sonuç her zaman 360 olacaktır.
Düzgün Çokgenler
Bütün kenar uzunlukları eşit olan ve bütün açılarının ölçüleri birbirine eşit olan çokgenlere “düzgün çokgen” denir.
