Polinomlar

Polinom, x değişkenine bağlı gerçel katsayılara sahip n. dereceden bir ifadedir. Bir doğal sayı olan n ve gerçel sayılar a0, a1, a2, …, an–1, an alındığında, polinom aşağıdaki biçimde ifade edilir:

P(x)=a0+a1x+a2x2+…+an−1xn−1+anxnP(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_{n-1}x^{n-1} + a_nx^nP(x)=a0​+a1​x+a2​x2+…+an−1​xn−1+an​xn

Bu polinom ifadesindeki terimlerin katsayıları sırasıyla a0, a1, a2, …, an–1, an olarak adlandırılır. Benzer şekilde, a0, a1x, a2x^2, …, an–1x^{n-1}, anx^n terimlerine de polinomun terimleri denir.

Polinomun terimlerinden biri olan a2x^2 terimindeki x’in kuvvetine 2 denir ve bu terimin derecesi olarak adlandırılır. Polinomu oluşturan terimler arasında en yüksek dereceye sahip olan terimin katsayısına “polinomun baş katsayısı” denir. Bu terimin derecesine de “polinomun derecesi” denir ve der[P(x)] şeklinde gösterilir.

Değişkene bağlı olmayan terim, polinomun sabit terimi olarak adlandırılır. Eğer a0 = a1 = a2 = … = an = an–1 = 0 ise, P(x) polinomu “sıfır polinomu” olarak adlandırılır. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.

a0 ≠ 0 ve a1 = a2 = a3 = … = an–1 = an = 0 ise, P(x) polinomu “sabit polinom” olarak adlandırılır. Sabit polinomun derecesi 0’dır.

İki değişkenli polinomlar, P(x, y) = 3xy^2 – 2x^2y – x + 1 gibi ifadelerdir. Bu tür polinomlarda aynı terimdeki değişkenlerin üslerinin toplamından en büyüğüne polinomun derecesi denir.

D. POLİNOMLARDA EŞİTLİK

Aynı dereceye sahip en az iki polinomun, eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit olduğunda, bu polinomlara eşit polinomlar adı verilir.

Önemli Notlar:

• Polinom P(x) katsayılarının toplamı, P(1) olarak ifade edilir.
• Polinom P(x) içindeki sabit terim, P(0) olarak değerlendirilir.

P(x) = anxn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + …

Q(x) = bnxn + bn–1xn–1 + bn–2xn–2 + …

olmak üzere,

P(x)+Q(x)=(an+bn)xn+(an–1+bn–1)xn–1+…P(x) + Q(x) = (an + bn)xn + (an–1 + bn–1)xn–1 + …P(x)+Q(x)=(an+bn)xn+(an–1+bn–1)xn–1+…

P(x)−Q(x)=(an−bn)xn+(an–1−bn–1)xn–1+…P(x) – Q(x) = (an – bn)xn + (an–1 – bn–1)xn–1 + …P(x)−Q(x)=(an−bn)xn+(an–1−bn–1)xn–1+…

2. Çarpma

İki polinomun çarpımı, birinin her bir teriminin diğerinin her bir terimi ile çarpılarak elde edilen terimlerin toplamına eşittir.

3. Bölme

der[P(x)]≥der[Q(x)]\text{der}[P(x)] \geq \text{der}[Q(x)]der[P(x)]≥der[Q(x)] ve

Q(x)≠0Q(x) \neq 0

Q(x)=0 koşulu altında,

P(x) : Bölünen polinom

Q(x) : Bölen polinom

B(x) : Bölüm polinom

K(x) : Kalan polinom

P(x)=Q(x)⋅B(x)+K(x)P(x) = Q(x) \cdot B(x) + K(x)P(x)=Q(x)⋅B(x)+K(x)

der[K(x)]<der[Q(x)]\text{der}[K(x)] < \text{der}[Q(x)]der[K(x)]<der[Q(x)]

K(x) = 0 ise, P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünmüş olur.

der[P(x)]=der[Q(x)]+der[B(x)]\text{der}[P(x)] = \text{der}[Q(x)] + \text{der}[B(x)]der[P(x)]=der[Q(x)]+der[B(x)]

Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzer şekilde gerçekleştirilir.

Bu işlemi gerçekleştirmek için:

1. Bölünen ve bölen polinomlar x’in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
2. Bölünen polinomun ilk terimi, bölen polinomun ilk terimine bölünür.
3. Elde edilen bölüm, bölen polinomun tüm terimleriyle çarpılarak, aynı dereceli terimler alt alta gelerek bölünen polinomun altına yazılır.
4. Elde edilen sonuç, bölünen polinomdan çıkarılır. Bu fark polinomuna aynı işlem uygulanır.
5. Yukarıdaki adımlar, kalan polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar tekrarlanır.